כיצד למצוא את משוואת הטנגנט בנקודה מסוימת בגרף פולינומי

מבוא

פולינומים הם ביטויים מתמטיים המורכבים ממשתנים ומקדמים, המשולבים באמצעות חיבור, חיסור, כפל ואקספונציה. הם נמצאים בשימוש נרחב בתחומים שונים של מתמטיקה ומדעים כדי ליצור מודל של תופעות בעולם האמיתי. הבנת ההתנהגות של פולינומים היא חיונית ביישומים רבים, והיבט חשוב אחד הוא מציאת משוואת קו משיק בנקודה מסוימת בגרף פולינום.

הבנת קווי טנג'נט

קו משיק הוא קו ישר שנוגע בעקומה בנקודה אחת, מבלי לחצות אותה. בהקשר של גרף פולינום, קו המשיק מייצג את קצב השינוי המיידי או השיפוע של העקומה באותה נקודה מסוימת. על ידי מציאת משוואת הישר המשיק, נוכל לקבוע את התנהגות הפונקציה הפולינומית ליד אותה נקודה.

שלב 1: זהה את נקודת החוצפה

השלב הראשון במציאת משוואת קו משיק הוא לזהות את הנקודה בגרף הפולינום שבה קו המשיק נוגע בעקומה. נקודה זו ניתנת לרוב כקואורדינטות (x, y) או כערך ספציפי של x.

שלב 2: מצא את הנגזרת

הנגזרת של פונקציה פולינומית מייצגת את קצב השינוי של הפונקציה בכל נקודה נתונה. כדי למצוא את הנגזרת, נבדיל את הפונקציה הפולינומית ביחס ל-x. הנגזרת של פולינום בדרגה n תהיה פולינום בדרגה n-1.

שלב 3: החלף את קואורדינטת ה-x

ברגע שיש לנו את הנגזרת של הפונקציה הפולינומית, נחליף את קואורדינטת ה-x של נקודת המשיכה במשוואת הנגזרת. זה ייתן לנו את השיפוע של קו המשיק באותה נקודה.

משוואת קו טנג'נט

כעת, כשיש לנו את השיפוע של הישר המשיק, נוכל להשתמש בצורת שיפוע נקודה של משוואה לינארית כדי למצוא את משוואת הישר המשיק. טופס המדרון הנקודתי ניתן על ידי:

y – y ₁ = m(x – x ₁ )

כאשר (x ₁ , y ₁ ) מייצג את נקודת המשיכה ו-m מייצג את השיפוע של קו המשיק.

דוגמא

הבה נבחן את הפונקציה הפולינומית f(x) = 2x ³ – 3x ² + 2x – 1. אנו רוצים למצוא את משוואת הישר המשיק בנקודה (2, 5).

שלב 1: זהה את נקודת החוצפה

נקודת המגע היא (2, 5).

שלב 2: מצא את הנגזרת

אם לוקחים את הנגזרת של f(x), נקבל f'(x) = 6x ² – 6x + 2.

שלב 3: החלף את קואורדינטת ה-x

החלפה של x = 2 ל-f'(x), נקבל f'(2) = 6(2) ² – 6(2) + 2 = 14.

לכן, השיפוע של קו המשיק ב- (2, 5) הוא 14.

משוואת קו הטנג'נט

באמצעות טופס שיפוע נקודתי, יש לנו:

y – 5 = 14(x – 2)

אם לפשט את המשוואה, נקבל:

y = 14x – 23

אז, משוואת הישר המשיק לפונקציה הפולינומית f(x) = 2x ³ – 3x ² + 2x – 1 בנקודה (2, 5) היא y = 14x – 23.

סיכום

לדעת כיצד למצוא את המשוואה של קו משיק בנקודה מסוימת בגרף פולינום חיוני להבנת התנהגות הפונקציה ליד אותה נקודה. על ידי זיהוי נקודת המגע, מציאת הנגזרת והחלפת קואורדינטת ה-x, נוכל לקבוע את השיפוע של הישר המשיק. בעזרת צורת השיפוע הנקודתי, נוכל לקבל את משוואת הישר המשיק. ידע זה מאפשר לנו לנתח את הפונקציה הפולינומית ולבצע תחזיות לגבי התנהגותה.